Padahimpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = A + B adalah operasi biner karena jumlah dari dua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 . Pada himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 dengan entri-entri bilangan real, f(A, B) = AB adalah operasi biner karena produk dari kedua matriks tersebut adalah matriks 2 × 2 .
Kelas 11 SMAMatriksInvers Matriks ordo 2x2Diketahui matriks M=0 1 1 -3 0 1 dan N=-1 0 1 -1 2 3. Invers dari MN adalah . . . .Invers Matriks ordo 2x2MatriksALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0319Diketahui matriks P=2 5 1 3 dan Q=5 4 1 1. Jika P^-1...0322Invers matriks A = [1 2 3 4] adalah A^-1= ....0245Diketahui matriks A=7 2 3 1 dan B=1 -2 -3 7. Tunjukka...0213Diketahui matriks A = 3 0 2 0; B = 2 1 3 2; dan...Teks videojika melihat soal seperti ini maka cara penyelesaiannya adalah pertama kita harus kali kan dulu m dikali n karena invers dari suatu matriks ada hasilnya ketika maksudnya adalah yang persegi banyak baris dan banyak kolom nya sama kita cari m dikalikan dengan n m nya adalah matriks berordo 2 * 311 - 301 dikalikan dengan matriks A adalah matriks yang berordo 3 x min 1 0 1 min 1 2 3 aturan perkalian matriks adalah baris dikali kolom kita batasi seperti ini supaya mudah untuk melihat mana yang harus dioperasikan di sini hasilnya adalah akan menjadi mati soalnya 2 * 2, ya0 x min 101 * 111 * 220 + 1 + 2 jadi 3 berikutnya X 0101 x min 1 Min 11 * 3 itu 30 + min 1 + 3 menjadi 2 baris kedua min 3 x min 10 dikali 1 itu 01 * 2 itu 2 berarti 3 + 0 + 2 jadi 5 terakhir min 3 x 0100 X minus juga 01 * 330 + 0 + 3 jadi 3 kemudian setelah kita temukan hasil perkalian m * n baru kita bisa mencari info dari perkalian tersebut masih ingatkah rumus invers dari matriksrumusnya adalah 1 per determinan dikalikan dengan adjoin tentunya dari matriks hasil m * n ya untuk determinan itu rumusnya adalah adik Minda ketika ada abcd sini ya maka determinan a * b dikurangi B * C 3 * 3 itu 9 dikurangi dengan 5 * 2 itu dikalikan dengan adjoin dari matriks hasil kalinya 3 dengan 3 yang ini ditukar tempatnya tapi di sini Nggak ngaruh karena angkanya sama untuk 52 nya tidak ditukar tapi cukup dinegatifkan saja berarti ini Min 5 ini min 2 lihat lagi rumus dari adjoin matriks 2 * 2 ya hasilnya berarti 1 dibagi dengan ini min 1 berarti min 1 min 1 dikalikan dengan 3 min 2 min 5 3yang satunya kita kalikan dengan setiap elemen yang ada di matriks m * n tersebut hasil akhirnya maksudnya Tan menjadi Min 325 dan min 3 sehingga opsi yang tepat adalah pilihan C sampai jumpa pada pertanyaan berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Elemenelemen matriks C (mxs) adalah penjumlahan dari hasil kali berbagai elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut adalah gambar skemanya: Contohnya matriks A mempunyai ordo (3 x 4) serta matriks B mempunyai ordo (4 x 2), maka matriks C mempunyai ordo (3 x 2). Invers Matriks. Sebuah matrik A mepunyai invers (kebalikan Saber calcular uma matriz inversa e o seu determinante é uma habilidade que pode ser cobrada nas questões mais difíceis de Matemática. Por isso, é importante entender as condições de existência de uma matriz inversa e suas propriedades! O tópico de matriz inversa costuma ser o último abordado quando falamos de matrizes no contexto do Enem e vestibulares. Vem com a gente se aprofundar no estudo desse assunto, aprender as condições de existência, como calcular e quais suas propriedades. O que é uma matriz inversa Quando trabalhamos com matrizes temos diversas restrições em relação às operações com matrizes que podemos ou não realizar. Sabemos, por exemplo, que não podemos dividir matrizes. Porém, uma propriedade presente em algumas matrizes é a existência da matriz inversa. Assim como nos números reais, quando multiplicamos uma matriz A por sua inversa temos como resultado uma unidade, que no nosso caso é a matriz identidade I. Representamos a inversa da matriz A como A-1, dessa forma, temos Condições de existência Antes de aprendermos a fazer seu cálculo, precisamos saber verificar se a matriz inversa existe. Para isso temos duas condições necessárias Somente matrizes quadradas, aquelas em número de linhas e colunas são o mesmo, possuem inversa; Somente matrizes com determinantes diferentes de zero possuem matriz inversa. Como calcular a matriz inversa Agora que já sabemos quando a matriz inversa existe, vamos aprender a calculá-la. Preste atenção no exemplo a seguir e veja como calcular a inversa de uma matriz 2×2. Exemplo calcule a inversa da matriz A. Precisamos primeiro verificar se a matriz A possui uma inversa. Para isso, precisamos checar se A é quadrada e se o determinante A é diferente de 0. Vemos facilmente que A é quadrada de ordem 2, já que possui duas colunas e duas linhas. Ainda podemos calcular o determinante da seguinte maneira Como o determinante de A é diferente de 0 e A é uma matriz quadrada, sabemos que ela possui inversa. Agora precisamos usar a definição de inversa para conseguir relacionar a matriz A com a sua inversa. Para isso você pode usar a definição que vimos anteriormente como uma fórmula. Substituindo a matriz A obtemos Observe que depois da igualdade substituímos I pela a matriz identidade de uma matriz quadrada de ordem dois. Nesse tipo de matriz, a sua diagonal principal é composta por números 1, enquanto que os demais elementos são 0. Já para a matriz A-1 podemos usar uma matriz composta por incógnitas, as quais vamos calcular para formarem nosso resultado, da seguinte maneira Lembre-se que para realizar a multiplicação de uma matriz pela outra você deve fazer a soma dos produtos de cada elemento da primeira linha de uma das matrizes pelos elementos da primeira coluna da outra. Desenvolvendo essa multiplicação de matrizes chegamos em Agora, quando dizemos que duas matrizes são iguais estamos afirmando que os seus elementos são iguais, ou seja Precisamos calcular quem é a matriz A-1, ou seja, calcular os valores de a, b, c e d. Para isso, vamos separar as igualdades em anteriores sistemas, de forma que as duas duplas de variáveis fiquem no mesmo sistema Note que as colunas da matriz definem um sistema. Resolvendo os sistemas chegamos ao seguinte resultado Por fim, podemos substituir os resultados encontrados para construir nossa matriz A-1 E essa matriz é a inversa de A, como prova real você pode multiplicar A por A-1 e conferir se o resultado é a matriz identidade. Propriedades da matriz inversa As matrizes inversas possuem algumas propriedades que podem te ajudar muito na hora de resolver uma prova, confira elas A inversa de uma matriz é única; A inversa da matriz inversa de A é a própria matriz A, isto é A-1-1 = A; A inversa da matriz transposta de A é igual à transposta da matriz inversa de A, ou seja At-1 = A-1t; Se a matriz A admite inversa, o seu determinante é igual o inverso do determinante de A deta-1 = detA-1; Se A e B são matrizes de mesma ordem inversíveis então a inversa de A vezes B vai ser igual a inversa de B vezes a inversa de A, portanto AB-1 = B-1 A-1 . Exercícios resolvidos 1 Como calcular uma matriz inversa 3×3 Calcule se existirem detB e detB-1 Nesse exercício precisamos calcular o determinante de duas matrizes, vamos começar com a matriz B, já que já a conhecemos detB = + + – + + detB = 4 + 1 – 4 = 1 Como já calculamos o determinante de B, podemos verificar se B admite inversa, como o determinante de B é diferente de zero, B-1 existe. Para calcular o determinante de B-1 vamos primeiro calcular quem é essa matriz. Começamos da mesma forma, montando a igualdade de matrizes provinda da definição Desenvolvendo essa igualdade obtemos Agora, organizamos ela em três sistemas Resolvendo os três sistemas obtemos Por fim, calculando o determinante de B-1 temos detB-1 = 0 – 3- 4 – 0 – 4 – 4 = -7 + 8 = 1 Note que calcular a inversa de uma matriz de ordem três envolve muito mais contas que calcular a inversa de uma matriz de ordem dois. Isso pode tomar muito tempo de suas provas, por isso, é importante saber utilizar as propriedades. Note ainda que neste exercício você pode usar a propriedade 4 para obter facilmente o determinante da inversa detB-1 = detB-1 detB-1 = 1-1 detB-1 = 1 Muito mais fácil, né? Mas, fique atentoa! É importante notar que para calcular o determinante de uma inversa você deve verificar se ela existe! 2 Como calcular o determinante da matriz inversa Sejam as matrizes Calcule, se existir, o determinante de D-1C-1. Vamos utilizar o mesmo método dos exemplos anteriores para calcular D-1C-1. Se você ainda não se acostumou, vamos rever o passo a passo começando pela matriz C Passo 1 verificar se a inversa de C existe usando o determinante detC = 1 . 6 0 -2 . 6 detC = 6 + 12 = 18 Passo 2 construir a “equação” da matriz inversa com a matriz fornecida no enunciado e uma matriz de incógnitas Passo 3 fazer a multiplicação de matrizes. Passo 4 montar e resolver os sistemas. Passo 5 montar a matriz inversa com os resultados colhidos. Fazemos o mesmo para a matriz D detD = 3 . 2 – 4 . 1 detD = 6 – 4 = 2 Passo 2 Passo 3 Passo 4 Passo 5 Agora que temos as inversas podemos calcular o produto D-1C-1 Por fim, podemos calcular o determinante pedido pelo exercício Depois de muito esforço conseguimos o resultado! Mas será que tem uma forma mais fácil? Da mesma forma que o exemplo anterior, podemos usar das propriedades para facilitar a resolução do problema. Dessa vez, vamos usar as propriedades 4 e 5. Lembre-se que podemos usar a propriedade 4 para facilmente calcular o determinante de matrizes inversas. Para isso calculamos o determinante da matriz que invertemos. Mas qual será a matriz a qual a inversa é D-1C-1? Em um primeiro momento você pode pensar que é a matriz DC. Porém, essa resposta estaria errada, já que pela propriedade 5 sabemos que a inversa de DC é a matriz DC-1 = C-1D-1. Da mesma forma, conseguimos concluir que a matriz CD é a que procuramos, já que CD-1 = D-1C-1. Agora, como sabemos pela propriedade 4 que detCD-1 = detD-1C-1. Com isso em mente, conseguimos reduzir a resolução a uma multiplicação de matrizes e um cálculo de determinante, veja bem Calculando CD O seu determinante detCD = 1 . 36 – 0 . 24 detCD = 36 – 0 = 36 Como o inverso do determinante vai ser o determinante da inversa, temos A mesma resposta com muito menos procedimentos! Viu como é importante aprender a usar as propriedades? Videoaula Agora, assista esse vídeo do canal “Equaciona” com o professor Paulo Pereira e corra para praticar com os exercícios logo depois do vídeo. Exercícios sobre matriz inversa Questão 1 UEL PR/2010 Se A é uma matriz quadrada 2 × 2 de determinante 10. Se B = -2 . A e C = 3 . B-1, onde B-1 é a matriz inversa de B, então o determinante de C é a -60 b -3/20 c -20/3 d 9/40 e 40/9 Questão 2 UNICAMP Considere a matriz A dada Onde a e b são números reais. Se A = A² e A é invertível, então a a=1 e b=1 b a=1 e b=0 c a=0 e b=0 d a=0 e b=1 Questão 3 FUVEST Considere a matriz em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1 cuja primeira coluna é a soma dos elementos da diagonal principal de A–1 é igual a a 5 b 6 c 7 d 8 e 9 Gabarito D B A Sobre oa autora Essa aula foi preparada pelo professor Inácio Ávila. Inácio Ávila é graduando em matemática-licenciatura pela Universidade Federal de Santa Catarina. Compartilhe
Inversmatriks ini juga ada beberapa macam mulai dari invers matriks 2×2, 3×3, 4×4, 5×5 dan Invers matrik ab. Dan untuk cara menghitungnya pun berbeda-beda, untuk menghitung invers matrik 2×2 terbilang lebih mudah dibandingkan lainya maka teman-teman perlu melihat penjelasanya dibawah ini. Pada tahapan yang terakhir ini adalah akhir
Matriks merupakan suatu susunan bilangan dimana tersusun dalam kolom dan baris. Dalam kajian ilmu matematika, rumus mengenai matriks tidaklah sedikit. Sebut saja penjumlahan matriks, pengurangan matriks, perkalian matriks, invers matriks, dan masih banyak lainnya. Secara konsep, invers suatu matriks atau yang juga dikenal dengan sebutan invers perkalian hampir sama dengan kebalikan bilangan. Suatu matriks bisa dibalik jika matriks itu ialah matriks persegi. Tipe matriks yang satu ini merupakan matriks yang berukuran n x n. Selain matriks persegi, tipe matriks yang bisa dibalik lainnya ialah matriks non-singular. Tipe matriks non-singular ini berupa determinan \neq 0. Perlu untuk anda ketahui, tidak semua matriks mempunyai invers. Invers matriks bisa didefinisikan dimana jika A merupakan suatu matriks kuadrat, maka anda bisa mencari matriks B dengan AB = BA = I. A dikatakan bisa dibalik invertible dan B disebut dengan invers dari A. Setelah anda mengetahui pengertiannya, maka selanjutnya anda harus mengerti bagaimana cara memecahkan soal terkait invers matriks. Trik Jitu Mencari Invers Matriks Sebenarnya ada banyak cara yang bisa anda lakukan untuk memecahkan soal mengenai invers matriks. Untuk lebih jelasnya, anda simak saja beberapa trik jitu mencari invers matriks berikut ini. Mencari Invers dari Matriks 2×2 Bagi anda yang ingin mencari invers dari matriks 2×2, pastikan dulu bahwa matriks anda ialah matriks persegi. Setelah itu, periksa jika matriks anda ialah 2×2. Kemudian ketahui rumus anda dan hitung kofaktornya. Biarkan tiap bagian dari matriks menjadi unsur matriks pada baris ke-m serta kolom ke-n. Kofaktor tiap bagiannya bisa menjadi -1m+n det sisa. Dimana det sisa adalah determinan dari matriks yang dibentuk dengan cara menghilangkan baris ke-m serta kolom ke-n, tempat unsur tiap bagiannya. Langkah selanjutnya, anda perlu mencari determinan matriks. Determinan merupakan bilangan tertentu yang bisa dihitung dari matriks persegi apapun. Pada umumnya, determinan dinotasikan dengan garis vertikal. Hal ini sama seperti nilai mutlak. Anda bisa jumlahkan semua kofaktor dari semua unsur yang ada pada baris pertama dalam matriks. Kemudian periksa jika determinannya memiliki nilai 0. Apabila determinannya bernilai 0, maka tak ada invers matriknya. Sebenarnya invers dari matriks 2×2 sangat sederhana. Anda hanya perlu menukar posisi a dan d, letakkan tanda negatif di bagian depan b dan c, serta membagi semua unsur dengan determinannya. Mencari Invers dari Matriks Persegi yang Lebih Besar dari 2×2 Sebenarnya cara mencari invers dari matriks persegi yang lebih besar dari 2×2 hampir sama dengan cara di atas, hanya saja jalannya lebih rumit. Pertama, anda harus memastikan bahwa matriks anda ialah matriks persegi. Setelah itu, periksa apabila matriks anda ialah 2×2. Selanjutnya, anda hitung semua kofaktor dari matriks persegi anda dan cari determinan matriks. Jika sudah, anda bisa periksa determinannya bernilai 0. Kemudian susun matriks kofaktornya dan cari transpose dari baris dan kolom anda. Setelah itu, bagi transpose matriks dengan determinannya. Perlu diketahui, matriks identitas n x n adalah matriks yang mempunyai unsur-unsur sama dengan nilai 0. Hal ini terkecuali unsur diagonal yang sama dengan nilai 1. Perlu diingat bahwa invers matriks 2×2 biasa hanya dapat dihitung apabila ab – cd tak sama dengan 0. Keabsahan invers matriks bisa diperiksa dengan hubungan antara matriks dan inversnya AxA-1. Dimana 1 adalah matriks identitas.
ĐềTuyển Sinh Môn Toán Lớp 10 TP. Hải Dương 2019 - 2020

O conceito de matriz inversa se aproxima bastante do conceito de inverso de um número. Vamos lembrar que o inverso de um número n é o número n-1, em que o produto entre os dois é igual ao elemento neutro da multiplicação, ou seja, o número 1. Já a inversa da matriz M é a matriz M-1, em que o produto M M-1 é igual à matriz identidade In, que nada mais é do que o elemento neutro da multiplicação de matrizes. Para que a matriz possua inversa, ela precisa ser quadrada e, além disso, o seu determinante tem que ser diferente de zero, caso contrário não haverá inversa. Para encontrar a matriz inversa, utilizamos a equação matricial. Leia também Matriz triangular — tipo especial de matriz quadrada Para que uma matriz possua uma inversa, ela precisa ser quadrada. Tópicos deste artigo1 - Matriz identidade2 - Como calcular a matriz inversa3 - Propriedades da matriz inversa4 - Exercícios resolvidosMatriz identidade Para compreender o que é a matriz inversa, é necessário antes conhecer a matriz identidade. Conhecemos como matriz identidade a matriz quadrada In em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais termos são iguais a 0. A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação entre matrizes, ou seja, dada uma matriz M de ordem n, o produto entre a matriz M e a matriz In é igual à matriz M. M In = M Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ; Como calcular a matriz inversa Para encontrar a matriz inversa de M, é necessário resolver uma equação matricial M M-1 = In Exemplo Encontre a matriz inversa de M. Como não conhecemos a matriz inversa, vamos representar essa matriz de forma algébrica Sabemos que o produto entre essas matrizes tem que ser igual a I2 Agora vamos resolver a equação matricial É possível separar o problema em dois sistemas de equações. O primeiro usa a primeira coluna da matriz M M-1 e a primeira coluna da matriz identidade. Assim, temos que Para resolver o sistema, vamos isolar a21 na equação II e substituir na equação I. Substituindo na equação I, temos que Como encontramos o valor de a11, então encontraremos o valor de a21 Conhecendo o valor de a21 e a11, agora encontraremos o valor dos demais termos montando o segundo sistema Isolando a22 na equação III, temos que 3a12 + 1a22 = 0 a22 = – 3a12 Substituindo na equação IV 5a12 + 2a22 =1 5a12 + 2 – 3a12 = 1 5a12 – 6a12 = 1 – a12 = 1 – 1 a12 = – 1 Sabendo o valor de a12, encontraremos o valor de a22 a22 = – 3a12 a22 = – 3 – 1 a22 = 3 Agora que conhecemos todos os termos da matriz M-1, é possível representá-la Leia também Adição e subtração de matrizes Propriedades da matriz inversa Existem propriedades que resultam da definição de uma matriz inversa. 1ª propriedade a inversa da matriz M-1 é igual à matriz M. A inversa de uma matriz inversa é sempre a própria matriz, ou seja, M-1-1 = M, pois sabemos que M-1 M = In, portanto M-1 é a inversa de M e também M é a inversa de M-1. 2ª propriedade a inversa de uma matriz identidade é ela mesma I-1 = I, pois o produto da matriz identidade por ela mesma resulta na matriz identidade, ou seja, In In = In. 3ª propriedade a inversa do produto de duas matrizes é igual ao produto das inversas M×A-1 = M-1 A-1. 4ª propriedade uma matriz quadrada possui inversa se, e somente se, o seu determinante é diferente de 0, ou seja, detM ≠ 0. Exercícios resolvidos 1 Dadas a matriz A e a matriz B, sabendo que elas são inversas, então o valor de x+y é a 2. b 1. c 0. d -1. e -2. Resolução Alternativa d. Montando a equação A B = I Pela segunda coluna, igualando os termos, temos que 3x + 5y = 0 → I 2x + 4y = 1 → II Isolando x em I Substituindo na equação II, temos que Conhecendo o valor de y, encontraremos o valor de x Agora calcularemos x + y Questão 2 Uma matriz só possui inversa quando o seu determinante é diferente de 0. Analisando a matriz abaixo, quais são valores de x que fazem com que a matriz não admita inversa? a 0 e 1. b 1 e 2. c 2 e – 1. d 3 e 0. e – 3 e – 2. Resolução Alternativa b. Calculando o determinante de A, queremos os valores em que detA = 0. detA = x x – 3 – 1 – 2 detA = x² – 3x + 2 detA = x² – 3x + 2 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, temos que a = 1 b = – 3 c = 2 Δ = b² – 4ac Δ = – 3 ² – 412 Δ= 9 – 8 Δ = 1 Por Raul Rodrigues de Oliveira Professor de Matemática

Contoh1. Himpunan bilangan bulat Z (berasal dari bahasa Jerman yang berarti Zahlen), himpunan bilangan rasional Q (quotient), dan himpunan bilangan real R semuanya merupakan grup dengan operasi penjumlahan biasa. Identitas dari masing-masing grup tersebut adalah 0 dan invers dari a adalah -a. Contoh 2.
Contohsoal rank matriks 4x4. Perkalian matriks adalah salah satu pembelajaran dalam ilmu matematika. Menentukan determinan matriks 4x4 tidaklah susah hanya pada pengerjaanya mungkin memerlukan waktu yang lebih lama. Jika determinan minor minor matriks yang berukuran mm adalah nol dan determinan minor minor matriks di bawahnya yang berukuran m
ldt5i5h. 265 28 348 332 83 138 172 283 248

invers dari matriks m adalah m 1 adalah